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खंडन कार्य

खंडन कार्यों की अवधारणा सांख्यिकीय यांत्रिकी के क्षेत्र में एक कोने का पत्थर है, जो भौतिक रसायन का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। खंडन क्रियाओं को समझने से हमें किसी सिस्टम के ऊष्मप्रवैगिकी गुणों की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाया जा सकता है। खंडन कार्य को Z के रूप में प्रदर्शित किया जाता है और यह सिस्टम की सूक्ष्म अवस्थाओं और इसके स्थूल गुणों के बीच एक प्रमुख कड़ी है।

खंडन क्रिया क्या है?

सरल शब्दों में, खंडन कार्य एक प्रणाली की अवस्थाओं का योग है, जिसमें प्रत्येक अवस्था को उसके बोल्ट्समैन फैक्टर से गिना जाता है। बोल्ट्समैन फैक्टर इस प्रकार दिया गया है:

e ^-E/kT

जहाँ E अवस्था की ऊर्जा है, k बोल्ट्समैन स्थिरांक है, और T केल्विन में तापमान है। किसी प्रणाली के लिए खंडन कार्य Z को सभी संभव सूक्ष्म अवस्थाओं i के बोल्ट्समैन फैक्टर जोड़कर गणना किया जाता है:

Z = Σ e ^{-E _i /kT}

यहाँ Σ दर्शाता है कि हम सभी सूक्ष्म अवस्थाओं i पर योग कर रहे हैं। इस योग को समझना महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह समझने के लिए एक पुल है कि सूक्ष्म अवस्थाएँ प्रणाली के स्थूल व्यवहार को कैसे प्रभावित करती हैं।

ऊष्मप्रवैगिकी गुणों की भविष्यवाणी में खंडन क्रियाओं की भूमिका

एक बार जब हम खंडन क्रिया निर्धारित कर लेते हैं, तो हम कई ऊष्मप्रवैगिकी मापांक, जैसे आंतरिक ऊर्जा, मुक्त ऊर्जा, एंट्रॉपी, और अधिक प्राप्त कर सकते हैं। आइए इन्हें और अधिक विस्तार में देखें:

आंतरिक ऊर्जा (U)

प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा खंडन क्रिया से निम्नलिखित सूत्र के माध्यम से संबंधित होती है:

U = - ∂ln(Z) / ∂β

जहाँ β = 1/kT है।

हेल्महोल्त्ज मुक्त ऊर्जा (F)

हेल्महोल्त्ज मुक्त ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:

F = -kT ln(Z)

एंट्रॉपी (S)

खंडन कार्य से एंट्रॉपी प्राप्त की जा सकती है:

S = k(ln(Z) + βU)

सूक्ष्म अवस्थाएँ और स्थूल अवस्थाएँ

खंडन क्रियाओं को और अधिक गहराई से समझने के लिए, एक को सूक्ष्म अवस्थाओं और स्थूल अवस्थाओं के बीच के अंतर को समझना होगा। एक सूक्ष्म अवस्था एक प्रणाली की विशिष्ट सूक्ष्म विन्यास होती है, जिसका अर्थ है कण की स्थिति और ऊर्जा का हर विवरण। इसके विपरीत, एक स्थूल अवस्था को तापमान और दबाव जैसे स्थूल गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो कई सूक्ष्म अवस्थाओं का सामूहिक योग है।

ऊपर के दृश्य उदाहरण में, स्थूल अवस्था बड़े नीले वर्ग द्वारा दर्शाई गई है। इसके अंदर प्रत्येक रंगीन वृत्त एक सूक्ष्म अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है, प्रत्येक को उनके संबंधों को समान परिस्थितियों में दिखाने वाली रेखाओं द्वारा जोड़ा गया है।

उदाहरण: आदर्श गैस का खंडन कार्य

खंडन कार्यों को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए असंवहनशील कणों से बनी एक आदर्श गैस पर विचार करें। आयतन V के 3-आयामी बॉक्स में एक कण के लिए खंडन कार्य इस प्रकार दिया गया है:

Z ₁ = (V / Λ ³ )

जहाँ Λ एक थर्मल वेवलेन्थ है जो इस प्रकार परिभाषित की जाती है:

Λ = h / √(2πmkT)

यहाँ h प्लांक स्थिरांक है और m कण का द्रव्यमान है। N कणों के साथ एक आदर्श गैस के लिए कुल खंडन कार्य दिया गया है:

Z = (Z ₁ ) ^N / N!

N! से भाग दिखाता है विभाजन के अनुपलब्धता को।

समझ की कड़ी: खंडन कार्य और आणविक समझ

खंडन कार्य शक्तिशाली होते हैं क्योंकि वे आणविक गुणों को ऊष्मप्रवैगिकी मापांक से जोड़ते हैं। आणविक ऊर्जा स्तरों और उनकी जनसंख्या पर विचार करके, हम सब कुछ वर्णित कर सकते हैं, चरण संक्रमणों से लेकर अभिक्रिया साम्य तक।

बोल्ट्समैन वितरण

यह विचार कि ऊर्जा अवस्थाएँ बोल्ट्समैन वितरण के अनुसार आबादित होती हैं, सांख्यिकीय यांत्रिकी में मौलिक है। यदि आपके पास ऊर्जा स्तर _{E 1}, _{E 2},... हैं जो संबंधित अर्थों के साथ (ऊर्जा तक पहुंचने के तरीकों की संख्या) _{g 1}, _{g 2}, तो प्रणाली के प्रत्येक ऊर्जा अवस्था में होने की संभावनाएँ p _i निम्नलिखित द्वारा दी जाती हैं:

p _i = (g _i e ^{-E _i /kT} ) / Z

सरल हार्मोनिक दोलक की जांच

आइए समान ऊर्जा स्तरों के साथ एक क्वांटम हार्मोनिक दोलक पर विचार करें, जो आणविक कंपन के लिए एक सामान्य मॉडल है। ऊर्जा स्तर इस प्रकार दिए गए हैं:

E _n = (n + 1/2)ℏω

यहाँ, n क्वांटम संख्या है, ℏ कम किया हुआ प्लांक स्थिरांक है, और ω कोणीय आवृत्ति है। खंडन कार्य है:

Z = Σ e ^{-(n + 1/2)ℏω / kT}

इस अनंत श्रृंखला की गणना अक्सर सरल अभिव्यक्तियों को प्राप्त करती है, विशेषकर उच्च और निम्न तापमान पर। उच्च तापमान पर जहाँ kT >> ℏω, श्रृंखला को ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है।

विचार और अनुमान

व्यवहार में, खंडन कार्यों की सटीक गणना कभी-कभी अंसांभव हो सकती है, सूक्ष्म अवस्थाओं की विशाल संख्या के कारण। उच्च तापमान सीमा या शास्त्रीय सीमा जैसी अनुमानित विधियाँ हमें अवधारणा को व्यावहारिक रूप से उपयोगी बनाने की अनुमति देती हैं।